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    "# 第十三讲：复习一\n",
    "\n",
    "1. 令$u, v, w$是$\\mathbb{R}^7$空间内的非零向量：则$u, v, w$生成的向量空间可能是$1, 2, 3$维的。\n",
    "\n",
    "2. 有一个$5 \\times 3$矩阵$U$，该矩阵为阶梯矩阵（echelon form），有$3$个主元：则能够得到该矩阵的秩为$3$，即三列向量线性无关，不存在非零向量使得三列的线性组合为零向量，所以该矩阵的零空间应为$\\begin{bmatrix}0\\\\0\\\\0\\\\ \\end{bmatrix}$。\n",
    "\n",
    "3. 接上一问，有一个$10 \\times 3$矩阵$B=\\begin{bmatrix}U\\\\2U \\end{bmatrix}$，则化为最简形式（阶梯矩阵）应为$\\begin{bmatrix}U\\\\0 \\end{bmatrix}$，$rank(B)=3$。\n",
    "\n",
    "4. 接上一问，有一个矩阵型为$C=\\begin{bmatrix}U & U \\\\ U & 0 \\end{bmatrix}$，则化为最简形式应为$\\begin{bmatrix}U & 0 \\\\ 0 & U \\end{bmatrix}$，$rank(C)=6$。矩阵$C$为$10 \\times 6$矩阵，$dim N(C^T)=m-r=4$。\n",
    "\n",
    "5. 有$Ax=\\begin{bmatrix}2\\\\4\\\\2\\\\ \\end{bmatrix}$，并且$x=\\begin{bmatrix}2\\\\0\\\\0\\\\ \\end{bmatrix}+c\\begin{bmatrix}1\\\\1\\\\0\\\\ \\end{bmatrix}+d\\begin{bmatrix}0\\\\0\\\\1 \\end{bmatrix}$，则等号右侧$b$向量的列数应为$A$的行数，且解的列数应为$A$的列数，所以$A$是一个$3 \\times 3$矩阵。从解的结构可知自由元有两个，则$rank(A)=1, dim N(A)=2$。从解的第一个向量得出，矩阵$A$的第一列是$\\begin{bmatrix}1\\\\2\\\\1 \\end{bmatrix}$；解的第二个向量在零空间中，说明第二列与第一列符号相反，所以矩阵第二列是$\\begin{bmatrix}-1\\\\-2\\\\-1 \\end{bmatrix}$；解的第三个向量在零空间中，说明第三列为零向量；综上，$A=\\begin{bmatrix}1 & -1 & 0\\\\ 2 & -2 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ \\end{bmatrix}$。\n",
    "\n",
    "6. 接上一问，如何使得$Ax=b$有解？即使$b$在矩阵$A$的列空间中。易知$A$的列空间型为$c\\begin{bmatrix}1\\\\2\\\\1\\\\ \\end{bmatrix}$，所以使$b$为向量$\\begin{bmatrix}1\\\\2\\\\1\\\\ \\end{bmatrix}$的倍数即可。\n",
    "\n",
    "7. 有一方阵的零空间中只有零向量，则其左零空间也只有零向量。\n",
    "\n",
    "8. 由$5 \\times 5$矩阵组成的矩阵空间，其中的可逆矩阵能否构成子空间？两个可逆矩阵相加的结果并不一定可逆，况且零矩阵本身并不包含在可逆矩阵中。其中的奇异矩阵（singular matrix，非可逆矩阵）也不能组成子空间，因为其相加的结果并不一定能够保持不可逆。\n",
    "\n",
    "9. 如果$B^2=0$，并不能得出$B=0$，反例：$\\begin{bmatrix}0 & 1\\\\ 0 & 0\\\\ \\end{bmatrix}$，**这个矩阵经常会被用作反例**。\n",
    "\n",
    "10. $n \\times n$矩阵的列向量线性无关，则是否$\\forall b, Ax=b$有解？是的，因为方阵各列线性无关，所以方阵满秩，它是可逆矩阵，肯定有解。\n",
    "\n",
    "11. 有\n",
    "$\n",
    "B=\n",
    "\\begin{bmatrix}\n",
    "1 & 1 & 0 \\\\\n",
    "0 & 1 & 0 \\\\\n",
    "1 & 0 & 1 \\\\\n",
    "\\end{bmatrix}\n",
    "\\begin{bmatrix}\n",
    "1 & 0 & -1 & 2 \\\\\n",
    "0 & 1 & 1 & -1 \\\\\n",
    "0 & 0 & 0 & 0 \\\\\n",
    "\\end{bmatrix}\n",
    "$，在不解出$B$的情况下，求$B$的零空间。可以观察得出前一个矩阵是可逆矩阵，设$B=CD$，则求零空间$Bx=0, CDx=0$，而$C$是可逆矩阵，则等式两侧同时乘以$C^{-1}$有$C^{-1}CDx=Dx=0$，所以当$C$为可逆矩阵时，有$N(CD)=N(D)$，即左乘逆矩阵不会改变零空间。本题转化为求$D$的零空间，$N(B)$的基为\n",
    "$\\begin{bmatrix}-F\\\\I\\\\ \\end{bmatrix}$，也就是$\\begin{bmatrix}1\\\\-1\\\\1\\\\0 \\end{bmatrix}\\quad\\begin{bmatrix}-2\\\\1\\\\0\\\\1\\end{bmatrix}$\n",
    "\n",
    "12. 接上题，求$Bx=\\begin{bmatrix}1\\\\0\\\\1\\\\ \\end{bmatrix}$的通解。观察$B=CD$，易得$B$矩阵的第一列为$\\begin{bmatrix}1\\\\0\\\\1\\\\ \\end{bmatrix}$，恰好与等式右边一样，所以$\\begin{bmatrix}1\\\\0\\\\0\\\\0\\\\ \\end{bmatrix}$可以作为通解中的特解部分，再利用上一问中求得的零空间的基，得到通解\n",
    "$\n",
    "x=\n",
    "\\begin{bmatrix}1\\\\0\\\\0\\\\0\\\\ \\end{bmatrix}+\n",
    "c_1\\begin{bmatrix}1\\\\-1\\\\1\\\\0 \\end{bmatrix}+c_2\\begin{bmatrix}-2\\\\1\\\\0\\\\1\\end{bmatrix}\n",
    "$\n",
    "\n",
    "13. 对于任意方阵，其行空间等于列空间？不成立，可以使用$\\begin{bmatrix}0 & 1\\\\ 0 & 0\\\\ \\end{bmatrix}$作为反例，其行空间是向量$\\begin{bmatrix}0 & 1\\\\ \\end{bmatrix}$的任意倍数，而列空间是向量$\\begin{bmatrix}1 & 0\\\\ \\end{bmatrix}$的任意倍数。但是如果该方阵是对称矩阵，则成立。\n",
    "\n",
    "14. $A$与$-A$的四个基本子空间相同。\n",
    "\n",
    "15. 如果$A, B$的四个基本子空间相同，则$A, B$互为倍数关系。不成立，如任意两个$n$阶可逆矩阵，他们的列空间、行空间均为$\\mathbb{R}^n$，他们的零空间、左零空间都只有零向量，所以他们的四个基本子空间相同，但是并不一定具有倍数关系。\n",
    "\n",
    "16. 如果交换矩阵的某两行，则其行空间与零空间保持不变，而列空间与左零空间均已改变。\n",
    "\n",
    "17. 为什么向量$v=\\begin{bmatrix}1\\\\2\\\\3 \\end{bmatrix}$不能同时出现在矩阵的行空间与零空间中？令$A\\begin{bmatrix}1\\\\2\\\\3 \\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}0\\\\0\\\\0 \\end{bmatrix}$，很明显矩阵$A$中不能出现值为$\\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\end{bmatrix}$的行向量，否则无法形成等式右侧的零向量。这里引入正交（perpendicular）的概念，矩阵的行空间与零空间正交，它们仅共享零向量。"
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